کاربرد مشتق در بهینه‌سازی

۱. بهینه‌سازی (Optimization)

در ریاضیات، بهینه‌سازی به معنای یافتن بهترین حالت برای یک مسئله است (مثلاً کمینه کردن هزینه یا بیشینه کردن سود). برای یافتن نقاط بیشینه و کمینه یک تابع مانند $𝑓 (𝑥)$ ، از مشتق اول استفاده می‌کنیم.

نقاطی که در آن‌ها مشتق برابر صفر است، نقاط بحرانی (Critical Points) نامیده می‌شوند:

𝑓' (𝑥) = 0

آزمون مشتق دوم (Second Derivative Test)

پس از یافتن نقاط بحرانی، برای تشخیص اینکه آیا آن نقطه یک ماکزیمم است یا مینیمم، از مشتق دوم استفاده می‌کنیم:

اگر مشتق دوم در آن نقطه مثبت باشد، نقطه یک مینیمم محلی است:
$𝑓'' (𝑥) > 0 ⟹ L o c a l M i n i m u m$
اگر مشتق دوم در آن نقطه منفی باشد، نقطه یک ماکزیمم محلی است:
$𝑓'' (𝑥) < 0 ⟹ L o c a l M a x i m u m$

مثال کاربردی: کمینه‌سازی هزینه تولید

فرض کنید تابع هزینه تولید یک محصول به صورت زیر تعریف شده است:

𝐶 (𝑥) = 0.5 𝑥 2 - 10 𝑥 + 100

گام اول: مشتق‌گیری برای یافتن نقطه بحرانی

𝐶' (𝑥) = 𝑑 𝑑 𝑥 (0.5 𝑥 2 - 10 𝑥 + 100) = 𝑥 - 10

گام دوم: برابر قرار دادن مشتق با صفر

𝑥 - 10 = 0 ⟹ 𝑥 = 10

گام سوم: بررسی نوع نقطه با مشتق دوم

𝐶'' (𝑥) = 1

از آنجایی که $𝐶'' (10) = 1 > 0$ است، پس در مقدار $𝑥 = 10$ ، هزینه تولید به کمینه خود می‌رسد.