نرخ‌های وابسته

۲. نرخ‌های وابسته (Related Rates)

در بسیاری از مسائل فیزیکی، متغیرها نسبت به زمان ( $𝑡$ ) تغییر می‌کنند. در این مسائل، ما رابطه‌ای بین دو یا چند متغیر داریم و می‌خواهیم نرخ تغییر یکی را بر اساس نرخ تغییر دیگری محاسبه کنیم.

برای این کار از قاعده زنجیره‌ای (Chain Rule) استفاده می‌کنیم تا مشتق را نسبت به زمان ( $𝑡$ ) بگیریم:

𝑑 𝑦 𝑑 𝑡 = 𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 \cdot 𝑑 𝑥 𝑑 𝑡

مثال کاربردی: حرکت نردبان روی دیوار

فرض کنید یک نردبان به طول $𝐿$ (ثابت) بین زمین و یک دیوار عمودی قرار دارد. اگر پایه نردبان با سرعت $𝑑 𝑥 𝑑 𝑡$ از دیوار دور شود، با چه سرعتی نوک نردبان به سمت پایین حرکت می‌کند ( $𝑑 𝑦 𝑑 𝑡$ )?

گام اول: نوشتن رابطه هندسی (قضیه فیثاغورس)
طبق رابطه فیثاغورس بین فاصله پایه تا دیوار ( $𝑥$ ) و ارتفاع نوک نردبان از زمین ( $𝑦$ ) داریم:

𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐿 2

گام دوم: مشتق‌گیری ضمنی نسبت به زمان ( $𝑡$ )
از طرفین نسبت به $𝑡$ مشتق می‌گیریم (با توجه به اینکه $𝐿$ یک مقدار ثابت است، مشتق آن صفر می‌شود):

𝑑 𝑑 𝑡 (𝑥 2) + 𝑑 𝑑 𝑡 (𝑦 2) = 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐿 2)

2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑑 𝑡 + 2 𝑦 𝑑 𝑦 𝑑 𝑡 = 0

گام سوم: محاسبه نرخ تغییر ارتفاع ( $𝑑 𝑦 𝑑 𝑡$ )
برای پیدا کردن نرخ حرکت نوک نردبان، فرمول را بازنویسی می‌کنیم:

2 𝑦 𝑑 𝑦 𝑑 𝑡 = - 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑑 𝑡

𝑑 𝑦 𝑑 𝑡 = - 𝑥 𝑦 \cdot 𝑑 𝑥 𝑑 𝑡

نکته: علامت منفی نشان‌دهنده این است که با دور شدن پایه از دیوار، ارتفاع نوک نردبان در حال کاهش است.